已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点（1，32），离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-1）（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）经过点（1，(√(3))/(2)），离心率为(√(3))/(2)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得

(c)/(a)＝(√(3))/(2)

(1)/(a2)+(3)/(4b2)＝1

，解得a=2，b=1．
所以椭圆C的方程是(x2)/(4)+y2＝1．                   …（4分）
（Ⅱ）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．
直线y=k（x-1）（k≠0）代入椭圆可得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=(8k2)/(1+4k2)，x₁x₂=(4k2−4)/(1+4k2)．
又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）．
由题意可知直线AM的方程为y=(y1)/(x1−2)（x-2），故点P（0，-(2y1)/(x1−2)）．
直线BM的方程为y=(y2)/(x2−2)（x-2），故点Q（0，-(2y2)/(x2−2)）．
若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x₀，0），则等价于

PN

•

QN

=0恒成立．
又因为

PN

=（x₀，(2y1)/(x1−2)），

QN

=（x₀，(2y2)/(x2−2)），
所以

PN

•

QN

=x₀²+(2y1)/(x1−2)•(2y2)/(x2−2)=0恒成立．
又因为（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=(4k2)/(1+4k2)，
y₁y₂=k（x₁-1）（x₂-1）=(−3k2)/(1+4k2)，
所以x₀²+(2y1)/(x1−2)•(2y2)/(x2−2)=x02-3=-0．
解得x₀=±√(3)．
故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点（±√(3)，0）．    …（14分）