已知直线l:y=x+9与椭圆c:x^2/12+y^2/3=1椭圆c'与c有共同焦点,且与l有公共求长轴最短的椭圆c'的方程并求公共点m

Question

已知直线l:y=x+9与椭圆c:x^2/12+y^2/3=1椭圆c'与c有共同焦点,且与l有公共
求长轴最短的椭圆c'的方程并求公共点m

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上关于y=4x+m对称的两点.P(x0,y0)为AB的中点.
则 (y2-y1)/(x2-x1)=-1/4,y0=4x0+m
由于
3x1²+2y1²=6 (1)
3x2²+2y2²=6 (2)
(2) -(1)得
3(x2-x1)(x1+x2)+2(y2-y1)(y1+y2)=0
(y2-y1)/(x2-x1)=-3(x1+x2)/[2(y1+y2)]=-3x0/(2y0)=-1/4
即 y0=6x0,与 y0=4x0+m联立,得 x0=m/2,y0=3m
由于 P(x0,y0)在椭圆内,所以 x0²/2+y0/3