已知m＞1，直线l：x-my-m22=0，椭圆C：x2m2+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭

Question

已知m＞1，直线l：x-my- (m2)/(2) =0，椭圆C： (x2)/(m2) +y ² =1，F ₁ 、F ₂ 分别为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F ₂ 时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF ₁ F ₂ ，△BF ₁ F ₂ 的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为直线l：x-my- (m2)/(2) =0，经过F ₂ （

m 2 -1

，0），
所以

m 2 -1

= (m2)/(2) ，得m ² =2，
又因为m＞1，所以m=

2

，
故直线l的方程为x-

2

y-1=0．
（Ⅱ）设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ）．
由

x=my+(m2)/(2)

(x2)/(m2) + y 2 =1

，消去x得
2y ² +my+ (m2)/(4) -1=0
则由△=m ² -8（ (m2)/(4) -1）=-m ² +8＞0，知m ² ＜8，
且有y ₁ +y ₂ =- (m)/(2) ，y ₁ y ₂ = (m2)/(8) - (1)/(2) ．
由于F ₁ （-c，0），F ₂ （c，0），故O为F ₁ F ₂ 的中点，
由

AG

=2

GO

，

BH

=2

H0

，可知G（ (x1)/(3) ， (y1)/(，3) ），H（ (x2)/(3) ， (y2)/(3) ）
|GH| ² = (( x1 - x2 )2)/(9) + (( y1 - y2 )2)/(9)
设M是GH的中点，则M（ (x1 + x2)/(6) ， (y1 + y2)/(6) ），
由题意可知2|MO|＜|GH|
即4[（ (x1 + x2)/(6) ） ² +（ (y1 + y2)/(6) ） ² ]＜ (( x1 - x2 )2)/(9) + (( y1 - y2 )2)/(9) 即x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ ＜0
而x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ =（my ₁ + (m2)/(2) ）（my ₂ + (m2)/(2) ）+y ₁ y ₂ =（m ² +1）（ (m2)/(8) -(1)/(2) ）
所以（ (m2)/(8) -(1)/(2) ）＜0，即m ² ＜4
又因为m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范围是（1，2）．