已知椭圆x2+y2b2＝1(0＜b＜1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．（1）当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；（2）直线AB与⊙P能否相切

Question

已知椭圆x2+(y2)/(b2)＝1(0＜b＜1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；
（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

Answer 1

（1）设F、B、C的坐标分别为（-c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为 x=(1−c)/(2)，
y-(b)/(2)＝(1)/(b)(x−(1)/(2))．联列方程组，
解出

x＝(1−c)/(2)

y＝(b2−c)/(2b)

∴m+n＝(1−c)/(2)+(b2−c)/(2b)＞0，
即b-bc+b²-c＞0，即（1+b）（b-c）＞0，
∴b＞c．
从而b²＞c²即有a²＞2c²，
∴e2＜(1)/(2)．又 e＞0，
∴0＜e＜(√(2))/(2)．
（2）直线AB与⊙P不能相切．由k_AB=b，kPB＝(b−(b2−c)/(2b))/(0−(1−c)/(2))＝(b2+c)/(b(c−1))．
如果直线AB与⊙P相切，则  b•(b2+c)/(b(c−1))=-1．b²+c²=1
解出c=0或2，与0＜c＜1矛盾，
所以直线AB与⊙P不能相切．