已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+22=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在

Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+2√(2)=0的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为 (x2)/(a2)+y2＝1，则右焦点F（√(a2−1)，0）
由题设(|√(a2−1)+2√(2)|)/(√(2))＝3，
解得a²=3．
故所求椭圆的方程为(x2)/(3)+y2＝1．
（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由

y＝x+m

(x2)/(3)+y2＝1

得 4x²+6mx+3m²-3=0
由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，
解得：-2＜m＜2．
由韦达定理可知：xp＝(xM+xN)/(2)＝−(3m)/(4)，从而yp＝xp+m＝(m)/(4)．
∴kAp＝(yp+1)/(xp)＝((m)/(4)+1)/(−(3m)/(4))，又|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，则((m)/(4)+1)/(−(3m)/(4))＝−1，
即m=2，因为：-2＜m＜2．
所以不存在实数m使|AM|=|AN|．