设M是焦距为2的椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=-12．（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上点N

Question

设M是焦距为2的椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=-(1)/(2)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）上点N（x₀，y₀）处切线方程为(x0x)/(a2)+(y0y)/(b2)=1，若P是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

（1） 设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），则(m2)/(a2)+(n2)/(b2)=1，
即n²=b²•(a2-m2)/(a2)，
由k₁k₂=-(1)/(2)，即(n)/(m+a)•(n)/(m-a)=-(1)/(2)，
即有(n2)/(m2-a2)=-(1)/(2)，
即为a²=2b²，又c²=a²-b²=1，
解得a²=2，b²=1．
即有椭圆E的方程为(x2)/(2)+y²=1；
（2）证明：设点P（2，t），切点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则两切线方程PC，PD分别为：(x1x)/(2)+y₁y=1，(x2x)/(2)+y₂y=1，
由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足(x1x)/(2)+y₁y=1，(x2x)/(2)+y₂y=1，
得：x₁+y₁t=1，x₂+y₂t=1，
故C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）均满足方程x+ty=1，
即x+ty=1为CD的直线方程．
令y=0，则x=1，
故CD过定点（1，0）．