设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．（I）若∠AF1F2=α，∠AF2F1=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；（II）设AF1=λ1F1B，AF2=λ2F2C，当A在椭圆上运动

Question

设椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得
(|AF1|)/(sinβ)=(|AF1|)/(sinα)=(|F1F2|)/(sin(α+β))，
即|AF₁|=(sinβ|F1F2|)/(sin(α+β))，|AF₂|=(sinα|F1F2|)/(sin(α+β))，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=(sinβ|F1F2|)/(sin(α+β))+(sinα|F1F2|)/(sin(α+β))，
=2c（(sinβ)/(sin(α+β))+(sinα)/(sin(α+β))）=2c•(sinα+sinβ)/(sin(α+β))，
得e=(sin(α+β))/(sinα+sinβ)．
（II）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①当y₀=0时，λ₁+λ₂=2(a2 +c2)/(a2−c2)=(2(1+e2))/(1−e2)；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁+λ₂=(2(1+e2))/(1−e2)．
②当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y=(y0)/(x0−c)（x-c），
由

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