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设过定点M（0，2）的直线l与椭圆x24+y2＝1交于不同的两点A、B．且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．．
题目详情
设过定点M（0，2）的直线l与椭圆| x2 |
| 4 |
▼优质解答
答案和解析
显然直线x=0不满足条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
∵△=（16k）2-4×12×（1+4k2）＞0，∴k＜-
或k＞
x1+x2=-
，x1x2=
∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
由于∠AOB为锐角，∴
•
＞0，即x1x2+y1y2＞0，∴
+
＞0
解得2＜k＜2
∴直线l的斜率的取值范围是（-2，-
）∪（
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
∵△=（16k）2-4×12×（1+4k2）＞0，∴k＜-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
x1+x2=-
| 16k |
| 1+4k2 |
| 12 |
| 1+4k2 |
∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
| 4−4k2 |
| 1+4k2 |
由于∠AOB为锐角，∴
| OA |
| OB |
| 12 |
| 1+4k2 |
| 4−4k2 |
| 1+4k2 |
解得2＜k＜2
∴直线l的斜率的取值范围是（-2，-
| ||
| 2 |
|
|
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