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设过定点M(0,2)的直线l与椭圆x24+y2=1交于不同的两点A、B.且∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围..
题目详情
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/24/1535089308-2786.jpg)
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▼优质解答
答案和解析
显然直线x=0不满足条件,可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2)
直线代入椭圆方程,消去y可得(1+4k2)x2+16kx+12=0
∵△=(16k)2-4×12×(1+4k2)>0,∴k<-
或k>
x1+x2=-
,x1x2=
∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=
由于∠AOB为锐角,∴
•
>0,即x1x2+y1y2>0,∴
+
>0
解得2<k<2
∴直线l的斜率的取值范围是(-2,-
)∪(
直线代入椭圆方程,消去y可得(1+4k2)x2+16kx+12=0
∵△=(16k)2-4×12×(1+4k2)>0,∴k<-
| ||
2 |
| ||
2 |
x1+x2=-
16k |
1+4k2 |
12 |
1+4k2 |
∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=
4−4k2 |
1+4k2 |
由于∠AOB为锐角,∴
OA |
OB |
12 |
1+4k2 |
4−4k2 |
1+4k2 |
解得2<k<2
∴直线l的斜率的取值范围是(-2,-
| ||
2 |
|
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