设过定点M（0，2）的直线l与椭圆x24+y2＝1交于不同的两点A、B．且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．．

Question

设过定点M（0，2）的直线l与椭圆(x2)/(4)+y2＝1交于不同的两点A、B．且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．．

Answer 1

显然直线x=0不满足条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜-(√(3))/(2)或k＞(√(3))/(2)
x₁+x₂=-(16k)/(1+4k2)，x₁x₂=(12)/(1+4k2)
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=(4−4k2)/(1+4k2)
由于∠AOB为锐角，∴

OA

•

OB

＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，∴(12)/(1+4k2)+(4−4k2)/(1+4k2)＞0
解得2＜k＜2
∴直线l的斜率的取值范围是（-2，-(√(3))/(2)）∪（

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