（1）设x≥1，y≥1，证明x+y+1xy≤1x+1y+xy；（2）设1<a≤b≤c，证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac．

Question

（1）设x≥1，y≥1，证明x+y+(1)/(xy)≤(1)/(x)+(1)/(y)+xy；
（2）设1<a≤b≤c，证明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

Answer 1

证明：（1）∵x≥1，y≥1，
∴x+y+(1)/(xy)≤(1)/(x)+(1)/(y)+xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+x²y²．
⇔（x+y）（xy-1）+（1-x²y²）≤0，
⇔（xy-1）（x+y-1-xy）≤0，
⇔（xy-1）（x+1）（1-y）≤0．
∵x≥1，y≥1，
∴xy-1≥0，x+1>0，1-y≤0，
∴（xy-1）（x+1）（1-y）≤0成立．，
∴x+y+(1)/(xy)≤(1)/(x)+(1)/(y)+xy．
（2）设log_ab=x，log_bc=y，则log_ac=xy，log_ca=(1)/(xy)，log_ba=(1)/(x)，log_cb=(1)/(y)．
∴log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac⇔x+y+(1)/(xy)≤(1)/(x)+(1)/(y)+xy．
∵1<a≤b≤c，∴log_ab≥1，log_bc≥1，即x≥1，y≥1．
由（1）可知x+y+(1)/(xy)≤(1)/(x)+(1)/(y)+xy．
∴log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．