叙述椭圆的定义，并推导椭圆的标准方程．

Question

叙述椭圆的定义，并推导椭圆的标准方程．

Answer 1

椭圆定义：平面内到两个定点F₁，F₂的距离之和为定值（定值大于两定点的距离）的点的集合（或轨迹）为椭圆，F₁，F₂称为椭圆的两个焦点．
设|F₁F₂|=2c（c＞0），定值为2a（a＞0），且a＞c＞0，
取F₁F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂的中点为坐标原点O，
建立直角坐标系，设动点M（x，y），则F₁（-c，0），F₂（c，0），
由已知条件，得|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴√((x+c)2+y2)+√((x−c)2+y2)＝2a，
化简，整理得(x2)/(a2)+(y2)/(a2−c2)＝1，
∵a＞c＞0，∴令a²-c²=b²，（b＞0），
则有(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，（a＞b＞0）．
∴焦点在x轴的椭圆的标准方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，（a＞b＞0）．
如果取F₁F₂所在的直线为y轴，则椭圆的标准方程为(y2)/(a2)+(x2)/(b2)＝1（a＞b＞0）．