设p为椭圆等x2m+y224=1（m≥32）上的一点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，若cos∠F1PF2=513则△PF1F2的面积是（）A．48B．16C．32D．与m有关的值

Question

设p为椭圆等(x2)/(m)+(y2)/(24)=1（m≥32）上的一点，F₁，F₂是该椭圆的两个焦点，若cos∠F₁PF₂=(5)/(13)则△PF₁F₂的面积是（　　）

A．48
B．16
C．32
D．与m有关的值

Answer 1

∵m≥32，可得椭圆的焦点在x轴上
∴长轴2a=2√(m)，c²=m+24
∵△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=(5)/(13)
∴|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2F₁P•PF₂cos∠F₁PF₂，
即4c²=（|F₁P|+|PF₂|）²-2F₁P•PF₂（1+cos∠F₁PF₂）
可得4c²=4a²-2F₁P•PF₂（1+(5)/(13)），得(18)/(13)F₁P•PF₂=2a²-2c²=2b²=48
∴F₁P•PF₂=(104)/(3)
∵sin∠F₁PF₂=√(1−((5)/(13))2)=(12)/(13)
∴由正弦定理，得△PF₁F₂的面积为
S_△ PF1F2=(1)/(2)F₁P•PF₂sin∠F₁PF₂=(1)/(2)×(104)/(3)×(12)/(13)=16
故选：B