如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和

Question

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F ₁ ，F ₂ ，线段OF ₁ ，OF ₂ 的中点分别为B ₁ ，B ₂ ，且△AB ₁ B ₂ 是面积为4的直角三角形．

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B ₁ 作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB ₂ ⊥QB ₂ ，求直线l的方程．

Answer 1

(1) ＋ ＝1，e＝  ；(2) x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

试题分析：(1)设所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，右焦点为F ₂ (c,0)．因为△AB ₁ B ₂ 是直角三角形，又|AB ₁ |＝|AB ₂ |，故∠B ₁ AB ₂ 为直角，因此|OA|＝|OB ₂ |，得b＝ .
结合c ² ＝a ² －b ² ，得4b ² ＝a ² －b ² ，故a ² ＝5b ² ，c ² ＝4b ² ，∴离心率e＝ ＝ .
在Rt△AB ₁ B ₂ 中，OA⊥B ₁ B ₂ ，故S△AB ₁ B ₂ ＝ |B ₁ B ₂ |·|OA|＝|OB ₂ |·|OA|＝ b＝b ² .
由题设条件S△AB ₁ B ₂ ＝4，得b ² ＝4，从而a ² ＝5b ² ＝20.
因此所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
(2)由(1)，知B ₁ (－2,0)，B ₂ (2,0)．由题意，知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程，得(m ² ＋5)y ² －4my－16＝0.
设P(x ₁ ，y ₁ )，Q(x ₂ ，y ₂ )，则y ₁ ，y ₂ 是上面方程的两根，因此y ₁ ＋y ₂ ＝ ，y ₁ ·y ₂ ＝－ .
又 ＝(x ₁ －2，y ₁ )， ＝(x ₂ －2，y ₂ )，
∴ · ＝(x ₁ －2)(x ₂ －2)＋y ₁ y ₂ ＝(my ₁ －4)(my ₂ －4)＋y ₁ y ₂ ＝(m ² ＋1)y ₁ y ₂ －4m(y ₁ ＋y ₂ )＋16＝－ － ＋16＝－ .
由PB ₂ ⊥QB ₁ ，得 · ＝0，即16m ² －64＝0，解得m＝±2.
∴满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．