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如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和
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如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,线段OF 1 ,OF 2 的中点分别为B 1 ,B 2 ,且△AB 1 B 2 是面积为4的直角三角形. ![]() (1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过B 1 作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB 2 ⊥QB 2 ,求直线l的方程. |
▼优质解答
答案和解析
(1) ![]() ![]() ![]() |
试题分析:(1)设所求椭圆的标准方程为 ![]() ![]() ![]() 结合c 2 =a 2 -b 2 ,得4b 2 =a 2 -b 2 ,故a 2 =5b 2 ,c 2 =4b 2 ,∴离心率e= ![]() ![]() 在Rt△AB 1 B 2 中,OA⊥B 1 B 2 ,故S△AB 1 B 2 = ![]() ![]() 由题设条件S△AB 1 B 2 =4,得b 2 =4,从而a 2 =5b 2 =20. 因此所求椭圆的标准方程为 ![]() ![]() (2)由(1),知B 1 (-2,0),B 2 (2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m 2 +5)y 2 -4my-16=0. 设P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 ),则y 1 ,y 2 是上面方程的两根,因此y 1 +y 2 = ![]() ![]() 又 ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 由PB 2 ⊥QB 1 ,得 ![]() ![]() ∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0. 点评:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法. |
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