已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,F为椭圆在x轴正半轴上的焦点,M、N两点在椭圆C上,且向量MF=λ向量FN（λ>0),定点A（-4,0）（1）求证：当λ=1时向量MN⊥向量AF（2）若当λ=1时,有向量A

Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,F为椭圆在x轴正半轴上的焦点,M、N两点在椭圆C上,且向量MF=λ向量FN（λ>0),定点A（-4,0）
（1）求证：当λ=1时向量MN⊥向量AF
（2）若当λ=1时,有向量AM*向量AN=106/3,求椭圆C的方程
（3）在（2）的条件下,当M、N两点在椭圆C运动时,试判断向量AM*向量AN*tan∠MAN是否有最大值,若存在求出最大值,并求出这时M、N两点所在直线方程,若不存在,给出理由.

Answer 1

1) M(x1,y1) N(x2,y2) λ=1时F是MN的中点 y1+y2=0(F纵坐标为0）
M(x1,y1) N(x2,y2)代入椭圆方程,两式相减,得 x1平方=x2平方
x1+x2=0时λ不等于1,当舍去.所以x1=x2故向量MN⊥向量AF
2）a是b的根号3倍 c是b的根号2 倍
AN=AM x=c代入x^2/3b^2+y^2/b^2=1得y1=根号3*b/3 y2=负根号3*b/3
向量AM*向量AN=（x1+4）*（x2+4）+y1*y2=（c+4)）*（c+4）-b*b/3=106/3
5c^2+48c-116=0 (5c+29*2)(c-2)=0 c=2 c^2=4
a*a=6 b*b=2 椭圆C的方程x^2/6+y^2/2=1
3）向量AM*向量AN*tan∠MAN=模AM*模AN*sin∠MAN 是三角形MAN面积的二倍
=AF*MN*sin∠AFM
设过F的直线为Y=K（X-2) 研究y1与y2的绝对值的和
（y1-y2）^2=24（K^4+K^2）/(1+3K^2) ^2
设t=1+3K^2,（y1-y2）^2=f(t)=t倒数的二次函数,配方,得最大值为3
也可以去求f(t)导数,f(t)在区间(1,正无穷)先递增,后递减
t=4时有极大值3,
K平方取1时（y1-y2）^2有最大值3.