已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),经过A(1,√3/2),且离心率e=√3/2①求椭圆C的方程②过B（-1,0）能否作出直线l,使得l与椭圆C交于MN两点且以MN为直径的圆经过坐标原点O?

Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),经过A(1,√3/2),且离心率e=√3/2
①求椭圆C的方程
②过B（-1,0）能否作出直线l,使得l与椭圆C交于MN两点且以MN为直径的圆经过坐标原点O?

Answer 1

(1)将点A(1,√3/2)代入椭圆方程得1/a²+3/4/b²=1……①
又离心率e=c/a=√3/2,所以c²/a²=3/4,c²=a²-b²=3/4a²,a²=4b²,代入①式,解得b²=1,a²=4,
所以椭圆方程为x^2/4+y^2=1
(2)设过点B（-1,0）的直线为y=k(x+1）,将之代入椭圆方程,化简整理得
(4k²+1)x²+8k²x+(4k²-4)=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则
x1+x2=-8k²/(4k²+1)=-2+2/(4k²+1) (x1+x2)/2=-1+1/(4k²+1)
x1x2=(4k²-4)/(4k²+1)=1-5/(4k²+1)
y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=k(-2+2/(4k²+1) )+2k=2k/(4k²+1),
(y1+y2)/2=k/(4k²+1),
|MN|=√(1+k²)√(x1+x2)²-4x1x2=√(1+k²)√(4-8/(4k²+1)+4/(4k²+1)²-4+8/(4k²+1)=√(1+k²)√4/(4k²+1)²
=2/(4k²+1)√(1+k²)
|MN|/2=1(4k²+1)√(1+k²)
故以MN为直径的圆的方程为[x+1-1/(4k²+1)]²+[y-k/(4k²+1)]²=[2/(4k²+1)√(1+k²)]²
令x=0,y=0,左边=[1-1/(4k²+1)]²+[k/(4k²+1)]²=(16k^4+k²)/(4k²+1)²
右边=(12k^4+16k²+4)/(4k²+1)²
令12k^4+16k²+4=16k^4+k²
4k^4-15k²-4=0
解得4k²+1=0（无解）或k²-4=0,k=±2
也即存在直线y=2x+2,y=-2x-2使得其与椭圆C交于MN两点且以MN为直径的圆经过坐标原点O