已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0）的长轴长为2根3,离心率e=根6/31）求椭圆C的方程2）设椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M,N,点D（0,-1）,当IDMI=IDNI时,求实数m的取值范围

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0）的长轴长为2根3,离心率e=根6/3
1）求椭圆C的方程
2）设椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M,N,点D（0,-1）,当IDMI=IDNI时,求实数m的取值范围

Answer 1

1、
由题意,a=√3,
又 e=√6/3
即c/a=√6/3,得：c=√2,则：b=1
所以,椭圆C为：x^2/3+y^2=1
2、
设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意得：DM²=DN²
即：x1²+(y1+1)²=x2²+(y2+1)²
(x1-x2)(x1+x2)=(y2-y1)(y2+y1+2)
(x1+x2)/(y1+y2+2)=-(y2-y1)/(x2-x1) ①
因为点M,N在直线y=kx+m上,所以：右式=-k
点M,N在椭圆上,则：x1²/3+y1²=1,x2²/3+y2²=1
两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)/3+(y1-y2)(y1+y2)=0
整理得：(x1+x2)/3(y1+y2)=-(y1-y2)/(x1-x2) ②
由①②得：(x1+x2)/(y1+y2+2)=(x1+x2)/3(y1+y2)
则：3(y1+y2)=(y1+y2+2)
得：y1+y2=1
y1=kx1+m,y2=kx2+m
y1+y2=k(x1+x2)+2m=1 ③
y=kx+m与x²/3+y²=1联列方程组,消去y,得关于x的二次方程：
(1/3+k²)x²+2kmx+m²-1=0
△=4k²m²-4(1/3+k²)(m²-1)=4k²-4m²/3+4>0
即：3k²-m²+3>0 ④
x1+x2=-2km/(1/3+k²),代入③,得：
-2k²m/(1/3+k²)+2m=1
整理得：2m=1+3k²
即：3k²=2m-1,代入④,得：
2m-1-m²+3>0
m²-2m-2