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已知点A(1,1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.(I)求椭圆的标准方程;(II)求过A(1,1)与椭圆相切的直线方程;(III)设点C、D是椭圆
题目详情
已知点A(1,1)是椭圆
+
=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)求过A(1,1)与椭圆相切的直线方程;
(III)设点C、D是椭圆上两点,直线AC、AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出定值;若不是定值,说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(I)求椭圆的标准方程;
(II)求过A(1,1)与椭圆相切的直线方程;
(III)设点C、D是椭圆上两点,直线AC、AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出定值;若不是定值,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(I)由椭圆定义知:2a=4,∴a=2,∴
+
=1
把(1,1)代入得
+
=1,∴b2=
,∴椭圆方程为
+
=1
(II)过A(1,1)点与椭圆相切的切线方程为:
+
=1
即:x+3y-4=0
(III)设AC方程为:y=k(x-1)+1与椭圆方程联立,消去y得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0
∵点A(1,1)在椭圆上,方程有一个根为xA=1,∴xC=
∵直线AC、AD倾斜角互补,∴AD的方程为y=-k(x-1)+1
同理xD=
,又
yC=k(xC-1)+1,yD=-k(xD-1)+1,
yC-yD=k(xC+xD)-2K
∴kCD=
,即直线CD的斜率为定值
x2 |
4 |
y2 |
b2 |
把(1,1)代入得
1 |
4 |
1 |
b2 |
4 |
3 |
x2 |
4 |
y2 | ||
|
(II)过A(1,1)点与椭圆相切的切线方程为:
x×1 |
4 |
y×1 | ||
|
即:x+3y-4=0
(III)设AC方程为:y=k(x-1)+1与椭圆方程联立,消去y得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0
∵点A(1,1)在椭圆上,方程有一个根为xA=1,∴xC=
3k2−6k−1 |
3k2+1 |
∵直线AC、AD倾斜角互补,∴AD的方程为y=-k(x-1)+1
同理xD=
3k2+6k−1 |
3k2+1 |
yC=k(xC-1)+1,yD=-k(xD-1)+1,
yC-yD=k(xC+xD)-2K
∴kCD=
1 |
3 |
1 |
3 |
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