在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．

Question

在椭圆 上有一点 M ， 是椭圆的两个焦点，若 ，则椭圆离心率的范围是（  ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

在椭圆 上有一点 M ， 是椭圆的两个焦点，若 ，则椭圆离心率的范围是（  ）

A．

B．

C．

D．

B

由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a，
所以|MF ₁ | ² +|MF ₂ | ² +2|MF ₁ |•|MF ₂ |=4a ² …①，
在△MF ₁ F ₂ 中，由余弦定理可知|MF ₁ | ² +|MF ₂ | ² -2|MF ₁ |•|MF ₂ |cosθ=4c ² …②
又|MF ₁ |•|MF ₂ |=2b ² ，…③，
由①②③可得：4c ² =4a ² -4b ² -2|MF ₁ |•|MF ₂ |cosθ．
所以|MF ₁ |•|MF ₂ |cosθ=0．
所以c≥b，即c ² ≥b ² =a ² -c ² ，2c ² ≥a ² ，e ² ≥1 /2 ，
所以e∈[  ，1)．
故选B．