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已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为32,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.A、B是椭圆C的右顶点与上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆相交于E、F两点.(1)求

题目详情
已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
2
=0相切.A、B是椭圆C的右顶点与上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆相交于E、F两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当四边形AEBF面积取最大值时,求k的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知:e=
c
a
=
3
2
e2=
c2
a2
a2−b2
a2
=
3
4
,∴a2=4b2.…(2分)
又∵圆x2+y2=b2与直线x−y+
2
=0相切,∴b=1,∴a2=4,…(3分)
故所求椭圆C的方程为x2+
y2
4
=1…(4分)
(2)设E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2
将y=kx代入椭圆的方程x2+
y2
4
=1整理得:(k2+4)x2=4,
x2=−x1=
2
k2+4
.①…(5分)
又点E,F到直线AB的距离分别为h1=
|2x1+kx1−2|
5
2(2+k+
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