设A、B分别为椭圆＝1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线．(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP与椭圆

Question

设A、B分别为椭圆 ＝1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP与椭圆相交于两点B、N，求证：∠NAP为锐角．

Answer 1

（1） ＝1（2）见解析

(1)依题意，得 解得 从而b＝ ，故椭圆的方程为 ＝1.
(2)证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，设N(x ₀ ，y ₀ )，
∵N点在椭圆上，∴ ＝ (4－ )．又N点异于顶点A、B，
∴－2<x ₀ <2，y ₀ ≠0.由P、B、N三点共线可得P ，从而 ＝(x ₀ ＋2，y ₀ )， ＝ ，则 · ＝6x ₀ ＋12＋ ＝6x ₀ ＋12－ (2＋x ₀ )＝ (x ₀ ＋2)．
∵x ₀ ＋2>0，y ₀ ≠0，∴ · >0，于是∠NAP为锐角．