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关于2道数学题,1.过点P(0,4)作圆X^2+Y^2=4的切线L,若L与抛物线Y^2=2PX(P>0)交于两点A,B且OA垂直OB,求抛物线的方程.2.已知中心在原点O,焦点在X轴上,离心率为√3/2的椭圆过点(√2,√2/2).设不过

题目详情
关于2道数学题,
1.过点P(0,4)作圆X^2+Y^2=4的切线L,若L与抛物线Y^2=2PX(P>0)交于两点A,B 且OA垂直OB,求抛物线的方程.
2.已知中心在原点O,焦点在X轴上,离心率为√3/2的椭圆过点(√2,√2/2).设不过原点O的直线L与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ.OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ的面积的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
1.因为过点P(0,4)的直线方程为y=kx+4
又因为该直线与圆X^2+Y^2=4相切,
所以圆心到该直线的距离恰为半径2
所以|4|/√(1+k^2)=2
解得k=±√3,
把直线方程y=±√3x+4代入Y^2=2PX得
3x^2±8√3x+16=2Px
设A(x1,y1)B(x2,y2)
则x1x2=16/3,
因为y1^2=2Px1 和y2^2=2Px2.
所以(y1y2)^2=4P^2*x1x2=64P^2/3
所以y1y2=±8√3P/3
又因为OA垂直OB
所以x1x2+y1y2=0
所以16/3±8√3P/3=0
所以P=±2√3/3
因为P>0,所以P=2√3/3
所以抛物线的方程为Y^2=4√3x/3.
2.因为椭圆中心在原点O,焦点在X轴上,所以设该椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1
所以a>b>0
因为离心率为e=√3/2=c/a=√(a^2-b^2)/a
所以a=2b
又因为点(√2,√2/2)在椭圆上,把该点代入椭圆方程可解得
b=1,所以a=2.
所以椭圆方程为x^2/4+y^2=1
设不过原点O的直线L与该椭圆交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点
设直线l为y=kx+b,代入椭圆方程,
化简得
(1+4k^2)x^2+8bkx+4(b^2-1)=0
所以x1x2=4(b^2-1)/(1+4k^2)
x1+x2=-8bk/(1+4k^2)
所以y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b=2b/(1+4k^2)
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1x2+bk(x1+x2)+b^2=(b^2-4k^2)/(1+4k^2)
因为直线OP的斜率为y1/x1,直线PQ的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1)
直线OQ的斜率为y2/x2.
且直线OP,PQ.OQ的斜率依次成等比数列
所以(y1/x1)(y2/x2)=k^2
所以y1y2=k^2x1x2.
所以(b^2-4k^2)/(1+4k^2)=4k^2(b^2-1)/(1+4k^2)
所以k^2=1/4.
所以直线l:y=±x/2+b
设d为点O到直线PQ的距离
所以d=|b|/√(1+k^2).
因为|x2-x1|=√[x1+x2)^2-4x1x2]=√[x1+x2)^2-4x1x2]=√(8-4b^2)
|PQ|=|x2-x1|*√(1+k^2)=√(8-4b^2)*√(1+k^2)
所以S△OPQ=1/2*d*|PQ|=1/2*|b|*√(8-4b^2)
设M=|b|*√(8-4b^2)
所以M^2=b^2*(8-4b^2)
化简得4b^4-8b^2+M^2=0
由Δ=64-4*4*M^2≥0
得M≤2.
因为M是非负数,所以M≥0
若M=0,则b=0或者b^2=2
当b=0是,直线l过原点,不符合题意.
当b^2=2时,则(1+4k^2)x^2+8bkx+4(b^2-1)=0可化为(x±√2)^2=0
此时P,Q为同一点,不符合题意中△OPQ.
所以0