如图，F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰

Question

如图，F是椭圆 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 （a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为 (1)/(2) ．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l ₁ ： x+

3

y+3=0 相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l ₂ 与圆M交于PQ两点，且

MP

•

MQ

=-2 ，求直线l ₂ 的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵F是椭圆 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 （a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，
椭圆的离心率为 (1)/(2) ，
∴ (c)/(a) =(1)/(2) ，∴ (c2)/(a2) =1-(b2)/(a2) = (1)/(4) ，∴b= (3)/(2) a ，c= (1)/(2) a ，
设F（-c，0），B（0， (3)/(2) a ）=（0，

3

c ），
∵k _BF = (b)/(c) =

3

，BC⊥BF，
∴k _BC =- (3)/(3) ，∴ (b)/(xC) = (3)/(3) ，∴x _C =

3

b = (3)/(2) a•

3

= (3)/(2) a =3c，
∴C（3c，0），
设圆M的方程为x ² +y ² +Dx+Ey+F=0，
把B（0，

3

c ），C（3c，0），F（-c，0）代入，得：

3 c 2 +

3

cE+F=0

9 c 2 +3cD+F=0

c 2 -cD+F=0

，
解得D=-2c，E=0，F=-3c ² ，
∴圆M的方程为（x-c） ² +y ² =4c ² ，
∵圆M与直线l ₁ ：x+

3

y+3=0相切，
∴ (|1×c+3×0+3|)/(1+3) =2c ，解得c=1，
∴a=2，b=

3

，
∴所求的椭圆方程为 (x2)/(4) +(y2)/(3) =1 ．
（Ⅱ）∵A是椭圆方程为 (x2)/(4) +(y2)/(3) =1 的左顶点，∴A（-2，0），
∵圆M的方程为（x-1） ² +y ² =1，
∴过点A斜率不存在的直线与圆不相交，
∴设直线l ₂ 的方程为y=k（x+2），
∵

MP

•

MQ

=-2 ，又|

MP

|=|

MQ

|=2，
∴cos＜

MP

，

MQ

＞= (MP•MQ)/(|MP|•|MQ|) =- (1)/(2) ，
∴∠PMQ=120°，
圆心M到直线l ₂ 的距离d= (1)/(2) r=1 ，
∴ (|k+2k|)/(k2 +1) =1 ，解得k= ±(2)/(4) ，
∴直线l ₂ 的方程为y= ±(2)/(4) （x+2）．