如图，四边形ABCD是菱形，对角线BD上有一点O，以O为圆心，OD长为半径的圆记为O．（1）当O经过点A时，用尺规作图作出O；此时，点C在O上吗？为什么？（2）当O与AB相切于点A时，①求证：

Question

如图，四边形ABCD是菱形，对角线BD上有一点O，以O为圆心，OD长为半径的圆记为 O．

（1）当 O经过点A时，用尺规作图作出 O；此时，点C在 O上吗？为什么？
（2）当 O与AB相切于点A时，
①求证：BC与 O相切；
②若OB=1， O的面积=___．

Answer 1

如图1（1）作AD的垂直平分线MN 交BD于O，以O为圆心，OD为半径作 O，
则 O即为所求；
点C 在圆上，
理由如下；
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=DA，∠CDB=∠ADB，
在△CDO与△ADO中，

CD=AD

∠CDO=ADO

OD=OD

，
∴△CDO≌△ADO，
∴OC=OA，
∴点C在 O上；
（2）①当 O与AB相切于点A时，
∠OAB=90°，
在△ABO与△BCO中，

AB=BC

∠ABO=∠BCO

OB=OB

，
∴△ABO≌△BCO，
∴∠BCO=∠BAO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC与 O相切；
②∵∠CDA=∠ABC=(1)/(2)∠AOC，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBO=30°，
∵OB=1，
∴OC=(1)/(2)OB=(1)/(2)，
∴ O的面积=((1)/(2))2•π=(π)/(4)．