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已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．6πB．12πC．18πD．24π

题目详情
已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是（　　）

A．6π
B．12π
C．18π
D．24π




▼优质解答
答案和解析
∵正三棱锥三条侧棱两两互相垂直，底面边长为2，侧棱长为
2
．
∴构造边长为
2
的正方体，
则正方体的体对角线为外接球的直径，
设球半径为r，
则正方体的体对角线长为
(
2
)2+(
2
)2+(
2
)2
=
6
，
即正三棱锥外接球的半径r=
6
2
，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr2=4×
6
4
π=6π．
故选：A．
2
2
22．
∴构造边长为
2
的正方体，
则正方体的体对角线为外接球的直径，
设球半径为r，
则正方体的体对角线长为
(
2
)2+(
2
)2+(
2
)2
=
6
，
即正三棱锥外接球的半径r=
6
2
，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr2=4×
6
4
π=6π．
故选：A．
2
2
22的正方体，
则正方体的体对角线为外接球的直径，
设球半径为r，
则正方体的体对角线长为
(
2
)2+(
2
)2+(
2
)2
=
6
，
即正三棱锥外接球的半径r=
6
2
，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr2=4×
6
4
π=6π．
故选：A．
(
2
)2+(
2
)2+(
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)2
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2
)2+(
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)2+(
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)2
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2
2
22)2+(
2
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22)22=
6
，
即正三棱锥外接球的半径r=
6
2
，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr2=4×
6
4
π=6π．
故选：A．
6
6
66，
即正三棱锥外接球的半径r=
6
2
，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr2=4×
6
4
π=6π．
故选：A．
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2
6
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66222，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr22=4×
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π=6π．
故选：A．
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4
666444π=6π．
故选：A．
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