请教斯拖克斯公式∫Lydx+zdy+xdz,其中L为圆周x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0,从y轴正向看,L为逆时针方向.请问：∫Lydx+zdy+xdz=-∫∫(cosa+cosb+cosc)ds,请问这个是怎么得来的.而且cosa这些怎么求呢?向量是什么呢

Question

请教斯拖克斯公式
∫L ydx+zdy+xdz,其中L为圆周x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0,从y轴正向看,L为逆时针方向.
请问：∫L ydx+zdy+xdz = -∫∫(cosa+cosb+cosc)ds,请问这个是怎么得来的.而且cosa这些怎么求呢?向量是什么呢?
谢谢.

Answer 1

使用斯拖克斯公式,
∫(L) ydx＋zdy＋xdz
＝－∫∫(∑)dydz＋dzdx＋dxdy
∑是以L为边界的曲面,取上侧,事实上是一个平面
＝－∫∫(∑)(cosa＋cosb＋cosc)ds
这里的cosa,cosb,cosc是曲面∑的上侧单位法向量的三个方向余弦,dydz＝cosads,dzdx＝cosbds,dxdy＝coscds.
因为∑在平面x＋y＋z＝0上,所以曲面∑的上侧的法向量n＝(1,1,1),得cosa＝cosb＝cosc＝1/√3
＝－√3∫∫(∑)ds
因为平面x＋y＋z＝0过球面x^2＋y^2＋z^2＝a^2的球心,所以∑是球的直径圆,面积为πa^2
＝－√3πa^2