如图，正三棱锥ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，M是A1B1的中点．（I）求证：MC1是平面ABB1A1的一个法向量；（II）求AC1与侧面ABB1A1所成的角．

Question

如图，正三棱锥ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为√(2)a，M是A₁B₁的中点．
（I）求证：

MC1

是平面ABB₁A₁的一个法向量；
（II）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

（I）如图，以点A为坐标原点，平面ABC为xoy平面，

AB

方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（a，0，0），B1(a，0，√(2)a)，
M（(a)/(2)，0，√(2)a)，C1((a)/(2)，(√(3)a)/(2)，√(2)a)
所以

AB

=（a，0，0），

BB1

=(0，0，√(2)a)，

MC1

＝(0，(√(3))/(2)a，0)．…（5分）
因为

MC1

•

AB

＝0，

MC1

•

BB1

＝0，
所以MC₁⊥AB，MC₁⊥BB₁，
从而MC₁⊥平面ABB₁A₁．
故

MC1

是平面ABB₁A₁的一个法向量．…（9分）
（II）

AC1

=((a)/(2)，(√(3)a)/(2)，√(2)a)．
因为

MC1

•

AC1

=(0，(√(3))/(2)a，0)•((a)/(2)，(√(3)a)/(2)，√(2)a)＝(3)/(4)a2，
又因为|

MC1

|=(√(3))/(2)a，|

AC1

|＝√(3)a，
所以cos＜

MC1

，

AC1

＞＝(1)/(2)，即＜

MC1

，

AC1

＞＝60°．…（13分）
故AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为30°．…（14分）