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证明矢量场A=(x^2-y^2+x)i-(2xy+y)j为平面调和场,并求其力函数u和势函数v
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证明矢量场A=(x^2-y^2+x)i-(2xy+y)j为平面调和场,并求其力函数u和势函数v
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答案和解析
设P=x^2-y^2+x,Q=-(2xy+y).由ðQ/ðx-ðP/ðy=-2y-(-2y)=0到rotA=0,由 ðP/ðx+ðQ/ðy=2x+1+(-2x-1)=0得divA=0,所以A为平面调和场.取点(x0,y0)=(0,0),则力函数u=∫0dx+∫(范围0到y)（x^2-y^2+x)dy=yx^2+y^3/3+xy+c.势函数v=-∫（范围0到x)(x^2+x)dx+∫(范围0到y)(2xy+y)dy=-x^3/3-x^2/2+xy^2+y^2/2+c.
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