已知函数f（x）=logax+bx−b（a＞0，a≠1，b＞0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）讨论f（x）的单调性，并证明．

Question

已知函数f（x）=log_a(x+b)/(x−b)（a＞0，a≠1，b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

（1）因为(x+b)/(x−b)＞0，解之得x＜-b或x＞b，
∴函数的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）．…（3分）
（2）由（1）得f（x）的定义域是关于原点对称的区间
f（-x）=log_a(−x+b)/(−x−b)=log_a(x−b)/(x+b)，
∵-f（x）=log_a（(x+b)/(x−b)）^-1=log_a(x−b)/(x+b)，
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．…（6分）
（3）证明：设b＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=log_a((x1+b)(x2−b))/((x2+b)(x1−b))，
∵((x1+b)(x2−b))/((x2+b)(x1−b))-1=(2b(x2−x1))/((x2+b)(x1−b))＞0
∴当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（b，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（b，+∞）上为增函数．
同理可得：当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）上为增函数．
综上所述，当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为增函数．…（12分）