空集是任何集合的真子集吗除了空集本身

Question

空集是任何集合的真子集吗 除了空集本身

Answer 1

单独来看：
（1）子集：如果对于任意一个元素x∈S,都有x∈P,则称：S是P的子集；
　　因为空集——Φ中不含任何元素,所以上述“条件命题”,对于任何一个集合（包括Φ本身）,恒成立——前提为假的条件命题,总是真命题.所以,Φ是任何集合的子集；
（2）真子集：如果S是P的子集,并且：
　　存在元素x∈P,使得x∉S；则称S是P的真子集；
　　显然,对于任意一个非空集合,我们都至少能找到一个元素属于它,而这个元素又肯定不会属于Φ,所以,Φ是任何非空集合的真子集；
对比来看：
　　符合（2）的集合比（1）少一个,就是Φ本身.即：Φ不是它自身的真子集——因为我们无法在Φ中找到一个既属于Φ,又不属于Φ的元素.
　　事实上,任何集合（包括Φ）,都不可能是它自身的真子集——原因同上.