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已知a、b、c为△ABC的三边,且方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有两个相等的实根,试判断△ABC的形状.
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已知a、b、c为△ABC的三边,且方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有两个相等的实根,试判断△ABC的形状.
▼优质解答
答案和解析
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0,
即3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0,
△=[-2(a+b+c)]2-12(ab+bc+ac)
=4a2+4b2+4c2-4ab-4ac-4bc
=2(a-b)2+2(b-c)2+2(a-c)2
=0,
所以a-b=0,b-c=0,a-c=0
即a=b=c,
三角形ABC为等边三角形.
即3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0,
△=[-2(a+b+c)]2-12(ab+bc+ac)
=4a2+4b2+4c2-4ab-4ac-4bc
=2(a-b)2+2(b-c)2+2(a-c)2
=0,
所以a-b=0,b-c=0,a-c=0
即a=b=c,
三角形ABC为等边三角形.
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