设三阶实对称矩阵A的秩r（A）=2，A有特征1与2，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别为α1=23−1，α2=1a2a（Ⅰ）求解Ax=0；（Ⅱ）求一个正交变换x=Py化二次型f（x1，x2，x3）=xTAx为标准形，并写

Question

设三阶实对称矩阵A的秩r（A）=2，A有特征1与2，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别为α₁=

2

3

−1

，α₂=

1

a

2a

（Ⅰ）求解Ax=0；
（Ⅱ）求一个正交变换x=Py化二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx为标准形，并写出该标准形和正交变换．

Answer 1

（1）
因为r（A）=2，
故：|A|=λ₁λ₂λ₃=0．
有已知条件，λ₁=1，λ₂=2，
故有：λ₃=0．
为求解Ax=0，只需求解矩阵A对应于λ₃=0的特征向量．
由于特征值λ₃=0为A的单重特征值，
故A对应于λ₃=0的特征向量只有一个，设为：α₃=（a₁，a₂，a₃）．
因为α₁、α₂、α₃两两正交可得：

2+3a−2a＝0

2a1+3a2−a3＝0

a1+aa2+2aa3＝0

，
求解得：a=-2，a₁=2a₃，a₂=-a₃，
故可取α₃=

2

−1

1

．
故Ax=0的基础解系为：α₃=

2

−1

1

，
通解为：x=k

2 −1 1

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