设n为正奇数,证明方程a0xn+a1x的n-1次方……+an-1x+an=0至少有一个实根,其中0≠0

Question

设n为正奇数,证明方程a0xn+a1x的n-1次方……+an-1x+an=0至少有一个实根,其中
0≠0

Answer 1

不妨设a0>0
那么 f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)……+an-1x+an
有lim f(x)/x^n =a0 当x->无穷大时
所以存在N>0,当x>N时 有 f(x)/x^n>a0/2 那么f(N+1)>(a0/2)(N+1)^n>0
同理存在M>0,当xa0/2 那么f(-M-1)