已知有穷数列{an}，{bn}对任意的正整数n∈N*都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．（1）若{an}是等差数列，且首项和公差相等，求证：{bn}是等比数列．（2）若{an}是等差数列，且{bn}是等比数

Question

已知有穷数列{a_n}，{b_n}对任意的正整数n∈N^*都有a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若{a_n}是等差数列，且首项和公差相等，求证：{b_n}是等比数列．
（2）若{a_n}是等差数列，且{b_n}是等比数列，求证：a_nb_n=n•2^n-1．

Answer 1

（1）{a_n}是等差数列，且首项和公差相等，设首项和公差为a，数列{a_n}的通项公式是a_n=na，
∵a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴ab_n+2ab_n-1+3ab_n-2+…+（n-1）ab₂+nab₁=2ⁿ⁺¹-n-2①，
∴ab_n-1+2ab_n-2+…+（n-2）ab₂+（n-1）ab₁=2ⁿ-n-1②，
①-②得，
a（b_n+b_n-1+••+b₂+b₁）=2ⁿ-1，
b_n=(1)/(a)×2^n-1，数列{b_n}是首项为(1)/(a)，公比为2的等比数列．
（2）{a_n}是等差数列，设首项为a，公差为d，a_n=a+（n-1）d，
{b_n}是等比数列，设首项为b，公比为q，则b_n=bq^n-1，
bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴an＝(2−q)/(b)×2n+(q−1)/(b)×n+(q−2)/(b)，
∴a_n+1-a_n=(2−q)/(b)×2n+(q−1)/(b)，
∵{a_n}是等差数列，
∴q=2，d=(1)/(b)，
∴a_nb_n=n•2^n-1．