某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系为：f（x）=1150x（x+1）（35-2x）（x∈N*，且x≤12）．（1）写出明年第x个月的需求量g（x）（

Question

某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系为：
f（x）=(1)/(150)x（x+1）（35-2x）（x∈N*，且x≤12）．
（1）写出明年第x个月的需求量g（x）（万件）与月x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？
（2）如果将该商品每月都投放市场p万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问：p至少为多少万件？

Answer 1

（1）g(1)＝f(1)＝(1)/(150)×1×2×33＝(11)/(25)．
当x≥2时，g（x）=f（x）-f（x-1）=(1)/(150)x(x+1)(35−2x)−(1)/(150)(x−1)x(37−2x)=(1)/(150)x•[(35+33x−2x2)−(−37+39x−2x2)]=(1)/(150)x•(72−6x)=(1)/(25)x•(12−x)．
所以：g(x)＝

(11)/(25)   x＝1

(1)/(25)x(12−x)  (x∈N*，2≤x≤12)

∵g(x)≤(1)/(25)[(x+(12−x))/(2)]2＝(36)/(25)．∴当x=12-x，即x=6时，g(x)max＝(36)/(25)（万件）．
故6月份该商品需求量最大，最大需求量为(36)/(25)万件．
（2）依题意，对一切x∈{1，2，12}有px≥f（x）．
∴p≥(1)/(150)(x+1)(35−2x)（x=1，2，12）．
设h(x)＝(1)/(150)(35+33x−2x2)，
∴h（x）_max=h（8）=1.14．故p≥1.14．
故每个月至少投放1.14万件，可以保证每个月都保证供应．