如何证明准线的定义,即曲线上任意点到焦点的距离比准线的距离为离心率,重点是任意的点

Question

如何证明准线的定义,即曲线上任意点到焦点的距离比准线的距离为离心率,重点是任意的点

Answer 1

在被窝里面口算下好了.以椭圆为例,椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1.设椭圆上一点(x,y),到右焦点的距离的平方为((x-c)^2+y^2).把y^2用x^2替换,得到x^2-2xc+c^2+b^2-b^2/a^2*x^2
化简为c^2/a^2*x^2-2xc+a^2,利用a^2=b^2+c^2.
另外,该点到右准线的距离的平方为(a^2/c-x)^2,化简为x^2-2*a^2/c*x+a^4/c^2
现在很明显了,到右焦点距离平方与到右准线距离平方的比值刚好为c^2/a^2,这不就是离心率嘛.
于是证明完毕.
少年,学解析几何要多算,不要空想……