已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则平面四边形ABCD面积的最大值为．

Question

已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则平面四边形ABCD面积的最大值为___．

Answer 1

设AC=x，在△ABC中，由余弦定理得：x²=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
同理，在△ADC中，由余弦定理得：x²=3²+5²-2×3×5cosD=34-30cosD，
∴15cosD-8cosB=7，①
又平面四边形ABCD面积为S=(1)/(2)×2×4sinB+(1)/(2)×3×5sinD=(1)/(2)(8sinB+15sinD)，
∴8sinB+15sinD=2S，②
①²+②²得：64+225+240（sinBsinD-cosBcosD）=49+4S²，
∴S²=60-60cos（B+D），
当B+D=π时，S取最大值√(60+60)=2√(30)．
故答案为：2√(30)．