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已知平面四边形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线,其余各边均在此直线的同侧),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,则平面四边形ABCD面积的最大值为.
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已知平面四边形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线,其余各边均在此直线的同侧),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,则平面四边形ABCD面积的最大值为___.
▼优质解答
答案和解析
设AC=x,在△ABC中,由余弦定理得:x2=22+42-2×2×4cosB=20-16cosB,
同理,在△ADC中,由余弦定理得:x2=32+52-2×3×5cosD=34-30cosD,
∴15cosD-8cosB=7,①
又平面四边形ABCD面积为S=
×2×4sinB+
×3×5sinD=
(8sinB+15sinD),
∴8sinB+15sinD=2S,②
①2+②2得:64+225+240(sinBsinD-cosBcosD)=49+4S2,
∴S2=60-60cos(B+D),
当B+D=π时,S取最大值
=2
.
故答案为:2
.
同理,在△ADC中,由余弦定理得:x2=32+52-2×3×5cosD=34-30cosD,
∴15cosD-8cosB=7,①
又平面四边形ABCD面积为S=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴8sinB+15sinD=2S,②
①2+②2得:64+225+240(sinBsinD-cosBcosD)=49+4S2,
∴S2=60-60cos(B+D),
当B+D=π时,S取最大值
60+60 |
30 |
故答案为:2
30 |
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