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如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D是劣弧AC的中点,DE⊥AB于H,交⊙O于点E,交AC于点F.(1)图中有哪些必相等的线段?(要求:不要标注其它字母,找结论的过程中所作的辅助线不能出现
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如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D是劣弧AC的中点,DE⊥AB于H,交⊙O于点E,交AC于点F.
(1)图中有哪些必相等的线段?(要求:不要标注其它字母,找结论的过程中所作的辅助线不能
出现在结论中,不必写出推理过程.)
(2)若过C点作⊙O的切线PC交ED延长线于P点,(请补全图形),求证:PF2=PD•PE;
(3)已知AH=1,BH=4,求PC的长.
(1)图中有哪些必相等的线段?(要求:不要标注其它字母,找结论的过程中所作的辅助线不能
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/26/1535287309-9388.jpg)
(2)若过C点作⊙O的切线PC交ED延长线于P点,(请补全图形),求证:PF2=PD•PE;
(3)已知AH=1,BH=4,求PC的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)AO=BO,DH=EH,DF=AF,AC=DE;
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/26/1535287304-1527.jpg)
(2)证明:连EC,AE,
则∠PFC是△ECF的一个外角,于是∠PFC=∠ACE+∠FEC;
∵DH⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴A是DE中点,即弧AD=弧AE,
∴∠AED=∠ACE,
∴∠ACE+∠FEC=∠AED+∠DEC=∠AEC,
∵PC是⊙O的切线,
∴∠PCA=∠AEC.
∴∠PCA=∠PFC,
∴PC=PF.
∵PC是切线
∴PC2=PD•PE,
∴PF2=PD•PE;
(3)在⊙O中,AH•HB=DH•HE=DH2,
∴DH=
=
=2
设AF=x,则FH=2-x.
在Rt△AFH中,AH2+FH2=AF2
∴1+(2-x)2=x2,
∴x=
,即AF=
.
于是DF=
.
由(1)(2)知HE=HD=2,
(PD+
)2=PD•(PD+4),
解得PD=
.
∴PF=PD+DF=
.
∴PC=PF=
.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/26/1535287304-1527.jpg)
(2)证明:连EC,AE,
则∠PFC是△ECF的一个外角,于是∠PFC=∠ACE+∠FEC;
∵DH⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴A是DE中点,即弧AD=弧AE,
∴∠AED=∠ACE,
∴∠ACE+∠FEC=∠AED+∠DEC=∠AEC,
∵PC是⊙O的切线,
∴∠PCA=∠AEC.
∴∠PCA=∠PFC,
∴PC=PF.
∵PC是切线
∴PC2=PD•PE,
∴PF2=PD•PE;
(3)在⊙O中,AH•HB=DH•HE=DH2,
∴DH=
AH•HB |
1×4 |
设AF=x,则FH=2-x.
在Rt△AFH中,AH2+FH2=AF2
∴1+(2-x)2=x2,
∴x=
5 |
4 |
5 |
4 |
于是DF=
5 |
4 |
由(1)(2)知HE=HD=2,
(PD+
5 |
4 |
解得PD=
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∴PF=PD+DF=
55 |
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∴PC=PF=
55 |
24 |
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