如图所示，半径为l4、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l．当竖直

Question

如图所示，半径为(l)/(4)、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l．当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（细绳a、b与杆在同一竖直平面内）．求：
（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆？
（2）轻绳a的张力F_a与竖直杆转动的角速度ω之间的关系．

Answer 1

（1）小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α，由题意可知：sinα＝(1)/(4)
水平方向：F_asinα=mω²r
竖直方向：F_acosα=mg
联立解得：ω²=(4)/(√(15))(g)/(l)
故ω=√((4g)/(√(15)l))
（2）由（1）可知0≤ω²≤(4)/(√(15))(g)/(l)时，F_a=(4)/(√(15))mg
若角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b恰伸直前，设轻绳a与竖直杆的夹角为β，此时小球做圆周运动的半径为r=lsinβ
水平方向：Fasinβ＝mω2r
竖直方向：F_acosβ=mg
联立解得：Fa＝mω2l
当轻绳恰升直时，β=60°，此时ω=√((2g)/(l))
固有Fa＝mω2l，此时(4)/(√(15))(g)/(l)≤ω2≤(2g)/(l)
若角速度ω再增大，轻绳b拉直后，小球做圆周运动的半径为r=lsin60°
水平方向：Fasin60°+Fbsin60°＝mω2r
竖直方向：F_acos60°=F_bcos60°+mg
联立解得：Fa＝(1)/(2)mlω2+mg，此时ω²≥(2g)/(l)
答：（1）竖直杆角速度ω为√((4g)/(√(15)l))时，小球恰离开竖直杆；
（2）轻绳a的张力F_a与竖直杆转动的角速度ω之间的关系为：
①0≤ω²≤(4)/(√(15))(g)/(l)时，F_a=(4)/(√(15))mg；
②(4)/(√(15))(g)/(l)≤ω2≤(2g)/(l)时，Fa＝mω2l；
③ω²≥(2g)/(l)时，Fa＝(1)/(2)mlω2+mg．