如图，质量m=1kg的物体以v0=4m/s的初速度从水平面的某点向右运动并冲上半径R=0.1m的竖直光滑半圆环．物体与水平面间有摩擦．（1）物体能从M点飞出，落到水平面时落点到N点的距离的最小值

Question

如图，质量m=1kg的物体以v₀=4m/s的初速度从水平面的某点向右运动并冲上半径R=0.1m的竖直光滑半圆环．物体与水平面间有摩擦．

（1）物体能从M点飞出，落到水平面时落点到N点的距离的最小值为多大？
（2）设出发点到N点的距离为x，物体从M点飞出后，落到水平面时落点到N点的距离为y，作出y²随x变化的关系如图．求物体与水平面间的动摩擦因数μ．
（3）要使物体从某点出发后的运动过程中不会在N到M点的中间离开半圆轨道，求出发点到N点的距离x的取值范围．

Answer 1

（1）物体能从M点飞出，则有：mg＝m(vmin)/(R)
vmin＝√(gR)
从M点抛出后做平抛运动，水平方向有：x_min=v_mint…①
竖直方向有：2R＝(1)/(2)gt2…②
由①②得：x_min=2R=2×0.1=0.2m
（2）物体从出发点到M点过程用动能定理得：
−μmgx−mg2R＝(1)/(2)mvM2−(1)/(2)mv02…③
y=v_Mt…④
2R＝(1)/(2)gt2…⑤
由③、④、⑤得：y2＝−(4)/(5)μx+(12)/(25)…⑥
由图知−(4)/(5)μ＝(0−0.48)/(3−0)
得：μ=0.2
（3）物体不会在M到N点的中间离开半圆轨道，即物体恰好从M点飞出，有：x_min=0.2m…⑦
⑦代入⑥得：x_max=2.75m
或物体刚好至圆轨道最右侧减速为0，由动能定理得：
−μmgxmin−mgR＝0−(1)/(2)mv02
代入数据得：x_min=3.5m
综上可得：x≥3.5m或x≤2.75m
答：（1）物体能从M点飞出，落到水平面时落点到N点的距离的最小值为0.2m；
（2）物体与水平面间的动摩擦因数μ为0.2．
（3）要使物体从某点出发后的运动过程中不会在N到M点的中间离开半圆轨道，出发点到N点的距离x的取值范围为x≥3.5m或x≤2.75m．