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如图,已知正方形ABCD,点P为BC边上一点,作∠APE=45°,交CD的延长线于点E,连接AC交PE于F.(1)求证:PE=2PA;(2)点G在AF边上,且∠PGE=135°,连接DG交PE于N,若PB=3,CF=42,求线段NG的长.
题目详情
如图,已知正方形ABCD,点P为BC边上一点,作∠APE=45°,交CD的延长线于点E,连接AC交PE于F.
(1)求证:PE=
PA;
(2)点G在AF边上,且∠PGE=135°,连接DG交PE于N,若PB=3,CF=4
,求线段NG的长.
(1)求证:PE=
2 |
(2)点G在AF边上,且∠PGE=135°,连接DG交PE于N,若PB=3,CF=4
2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)连结AE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACD=∠DAB=45°
∵∠APE=45°,
∴∠APE=∠ACD.
∵∠AFP=∠EFC,
∴△AFP∽△EFC,
∴
=
,
∴
=
.
∵∠AFE=∠PFC,
∴△AFE∽△PFC,
∴∠AEF=∠FCP=45°
∴△APE是等腰直角三角形,
∴PE=
AP.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACD=∠ACB=45°,∠B=∠ADE=∠BAD=∠BCD=90°,AB=BC=CD=AD.
∵△APE是等腰直角三角形,
∴AP=AE.
在Rt△ABP和Rt△ADE中,
,
∴Rt△ABP≌Rt△ADE(HL),
∴BP=DE.
∵∠APE=45°,
∴∠APE=∠ACD.
∵∠AFP=∠EFC,
∴∠PAC=∠CEF
∴△APC∽△EFC,
∴
=
.
设BC=CD=x,则CP=x-3,AC=
x,CE=x+3,
∴
=
,
解得:x1=9,x2=-1(舍去)
∴CB=CD=9,
∴CP=6,CE=12.
∵∠PCG=45°,
∴∠PGC+∠GPC=135°
∵∠PGE=135°,即∠PGC+∠CGE=135°,
∴∠GPC=∠CGE,
∵∠PCG=∠CGE,
∴△PCG∽△GCE,
∴CG2=CP•CE,
∴CG=6
.
作GK⊥EC于K,
∴∠GKC=∠GKE=90°.
∵∠GCK=45°,
∴∠CGK=45°,
∴CK=KG.
在Rt△CGK中,由勾股定理,得
GK=CG=6,
∴DK=3.
在Rt△GKD,由勾股定理,得
GD=3
.
∵GK=PC=6,且GK∥BC
∴四边形GPCK是平行四边形,
∵∠PCK=90°,
∴四边形GPCK是矩形,
∴PG=CK=6,PG∥ED,
∴∠GPE=∠DEP.
∵∠PNG=∠END,
∴△PNG∽△END,
∴
=
=
=2.
∴GN=2ND,
∵GN+ND=GD=3
∴3ND=3
,
∴ND=
∴GN=2
.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACD=∠DAB=45°
∵∠APE=45°,
∴∠APE=∠ACD.
∵∠AFP=∠EFC,
∴△AFP∽△EFC,
∴
AF |
EF |
PF |
FC |
∴
AF |
PF |
EF |
FC |
∵∠AFE=∠PFC,
∴△AFE∽△PFC,
∴∠AEF=∠FCP=45°
∴△APE是等腰直角三角形,
∴PE=
2 |
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACD=∠ACB=45°,∠B=∠ADE=∠BAD=∠BCD=90°,AB=BC=CD=AD.
∵△APE是等腰直角三角形,
∴AP=AE.
在Rt△ABP和Rt△ADE中,
|
∴Rt△ABP≌Rt△ADE(HL),
∴BP=DE.
∵∠APE=45°,
∴∠APE=∠ACD.
∵∠AFP=∠EFC,
∴∠PAC=∠CEF
∴△APC∽△EFC,
∴
CP |
CF |
CA |
CE |
设BC=CD=x,则CP=x-3,AC=
2 |
∴
x−3 | ||
4
|
| ||
x+3 |
解得:x1=9,x2=-1(舍去)
∴CB=CD=9,
∴CP=6,CE=12.
∵∠PCG=45°,
∴∠PGC+∠GPC=135°
∵∠PGE=135°,即∠PGC+∠CGE=135°,
∴∠GPC=∠CGE,
∵∠PCG=∠CGE,
∴△PCG∽△GCE,
∴CG2=CP•CE,
∴CG=6
2 |
作GK⊥EC于K,
∴∠GKC=∠GKE=90°.
∵∠GCK=45°,
∴∠CGK=45°,
∴CK=KG.
在Rt△CGK中,由勾股定理,得
GK=CG=6,
∴DK=3.
在Rt△GKD,由勾股定理,得
GD=3
5 |
∵GK=PC=6,且GK∥BC
∴四边形GPCK是平行四边形,
∵∠PCK=90°,
∴四边形GPCK是矩形,
∴PG=CK=6,PG∥ED,
∴∠GPE=∠DEP.
∵∠PNG=∠END,
∴△PNG∽△END,
∴
GN |
ND |
GP |
ED |
6 |
3 |
∴GN=2ND,
∵GN+ND=GD=3
5 |
∴3ND=3
5 |
∴ND=
5 |
∴GN=2
5 |
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