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如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;(3)在图②中,取CE
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如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.
(1)求证:DM=DA;
(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;
(3)在图②中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.
(1)求证:DM=DA;
(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;
(3)在图②中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1所示,
∵DM∥EF,
∴∠AMD=∠AFE,
∵∠AFE=∠A,
∴∠AMD=∠A,
∴DM=DA;
(2)证明:如图2所示,
∵D、E分别是AB、BC的中点,
∴DE∥AC,
∴∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,
∵∠AFE=∠A,
∴∠BDE=∠AFE,
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC,
∵∠BDG=∠C,
∴∠GDE=∠FEC,
∴△DEG∽△ECF;
(3) 如图3所示,
∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,
∴△BDG∽△BED,
∴
=
,
∴BD2=BG•BE,
∵∠AFE=∠A,∠CFH=∠B,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH,
又∵∠FEH=∠CEF,
∴△EFH∽△ECF,
∴
=
,
∴EF2=EH•EC,
∵DE∥AC,DM∥EF,
∴四边形DEFM是平行四边形,
∴EF=DM=DA=BD,
∴BG•BE=EH•EC,
∵BE=EC,
∴EH=BG=1.
∵DM∥EF,
∴∠AMD=∠AFE,
∵∠AFE=∠A,
∴∠AMD=∠A,
∴DM=DA;
(2)证明:如图2所示,
∵D、E分别是AB、BC的中点,
∴DE∥AC,
∴∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,
∵∠AFE=∠A,
∴∠BDE=∠AFE,
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC,
∵∠BDG=∠C,
∴∠GDE=∠FEC,
∴△DEG∽△ECF;
(3) 如图3所示,
∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,
∴△BDG∽△BED,
∴
BD |
BE |
BG |
BD |
∴BD2=BG•BE,
∵∠AFE=∠A,∠CFH=∠B,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH,
又∵∠FEH=∠CEF,
∴△EFH∽△ECF,
∴
EH |
EF |
EF |
EC |
∴EF2=EH•EC,
∵DE∥AC,DM∥EF,
∴四边形DEFM是平行四边形,
∴EF=DM=DA=BD,
∴BG•BE=EH•EC,
∵BE=EC,
∴EH=BG=1.
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