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设A,B都是m*n阶矩阵,证明A与B等价的充要条件是A的秩等于B的秩.
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设A,B都是m*n阶矩阵,证明A与B等价的充要条件是A的秩等于B的秩.
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答案和解析
如果A与B等价,则存在m阶可逆矩阵P,P1和n阶可逆矩阵Q,Q1使得B=PAQ,P1BQ1=P1PAQQ1=
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所以,A的秩等于B的秩.
反之,A的秩等于B的秩,则存在m阶可逆矩阵P1,P2和n阶可逆矩阵Q1,Q2使得P1BQ1=P2AQ2=
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令P=P1^(-1)P2,Q=Q2Q1^(-1),则有B=PAQ
所以A与B等价.
A与B等价的充要条件是A的秩等于B的秩.
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所以,A的秩等于B的秩.
反之,A的秩等于B的秩,则存在m阶可逆矩阵P1,P2和n阶可逆矩阵Q1,Q2使得P1BQ1=P2AQ2=
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令P=P1^(-1)P2,Q=Q2Q1^(-1),则有B=PAQ
所以A与B等价.
A与B等价的充要条件是A的秩等于B的秩.
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