设f(x)在闭区间[0,1]连续,在(0,1)内可导且f(0)=0,f(1)=1/3求证:彐ξ设f(x)在闭区间[0,1]连续,在(0,1)内可导且f(0)=0,f(1)=1/3求证:彐ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1)使f'(ξ)+f'(η)=ξ^2+η^2

Question

设f(x)在闭区间[0,1]连续,在(0,1)内可导且 f(0)=0,f(1)=1/3 求证:彐ξ
设f(x)在闭区间[0,1]连续,在(0,1)内可导且
f(0)=0,f(1)=1/3
求证:彐ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1)使
f'(ξ) +f'(η)=ξ^2 +η^2

Answer 1

因为f(x)在[0,1]连续,且f(0)和f(1)都是常数,所以f(x)在[0,1]上有界
不妨令f(1/2)=a,其中a是一个常数
设g(x)=f(x)-x^3/3,显然g(x)在闭区间[0,1]连续,在(0,1)内可导
且g(0)=0 g(1)=0
根据拉格朗日中值定理,分别存在m∈(0,1/2)和n∈(1/2,1),使得：
①g(1/2)-gf(0)=g'(m)*(1/2-0)
②g(1)-g(1/2)=g'(n)*(1-1/2)
化简,得：
①f(1/2)-1/24=[f'(m)-m^2]/2
2a-1/12=f'(m)-m^2
②f(1)-1/3-f(1/2)+1/24=[f'(n)-n^2]/2
1/12-2a=f'(n)-n^2
两式相加,得：f'(m)+f'(n)=m^2+n^2
原题得证