设奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1,证明存在η∈(-1,1),使得f''(η)+f'(η)=1

Question

设奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1,证明存在η∈(-1,1),使得f''(η)+f'(η)=1

Answer 1

由于f(x)是奇函数,所以f(0)=0且f'(x)为偶函数,因此f(-1)=-f(1)=-1.构造函数g(x)=f(x)+f'(x),对g(x)在[-1,1]上用拉格朗日中值定理,存在η∈(-1,1)使得g(1)-g(-1)=g'(η)[1-(-1)],而g(1)-g(-1)=f(1)+f'(1)-f(-1)-f'(-1)=2f(1)=2,所以2[f'(η)+f''(η)]=2,即f'(η)+f''(η)=1.