计算三重积分∭Ω（x2+y2+z2）dv，其中Ω是由x2+y2+z2=1所围成的闭球体．

Question

计算三重积分

∭

Ω

（x²+y²+z²）dv，其中Ω是由x²+y²+z²=1所围成的闭球体．

Answer 1

由题意，Ω={（r，φ，θ）|0≤θ≤2π，0≤φ≤π，0≤r≤1}
∴

∫∫∫

Ω

(x2+y2+z2)dV＝

∫

2π 0

dθ

∫

π 0

sinφdφ

∫

1 0

r4dr
=2π•[−cosφ

]

π 0

•[(1)/(5)r5

]

1 0

=(4π)/(5)