计算曲面积分：（1）∬（x2+y2）dzdx+（z-1）dxdy，其中Σ为锥面z=x2+y2（z≤1）在第一卦限部分的下侧．（2）∬x2+y2+z2＝1f（x•y•z）ds，其中f（x，y，z）=x2+y2，z≥x2+y20，其它．

Question

计算曲面积分：
（1）

∬

（x²+y²）dzdx+（z-1）dxdy，其中Σ为锥面z=√(x2+y2)（z≤1）在第一卦限部分的下侧．
（2）

∬

x2+y2+z2＝1

f（x•y•z）ds，其中f（x，y，z）=

x2+y2，z≥√(x2+y2)

     0，     其它

．

Answer 1

（1）
作辅助平面：
∑₁：

x＝0

y≤z≤1

，方向与x轴负向一致；
∑₂：

y＝0

x≤z≤1

，方向与x轴负向一致；
∑₃：

z＝1

x2+y2≤1

，方向与z轴正向一致，
则：∑+∑₁+∑₂+∑₃构成封闭曲面，所围区域为：
Ω={（θ，r，z）|0≤θ≤(π)/(2)，0≤z≤1，0≤r≤z}，
所以：
I=

∬

（x²+y²）dzdx+（z-1）dxdy 
=

∬

∑+∑1+∑2+∑3

（x²+y²）dzdx+（z-1）dxdy-

∬

∑1

（x²+y²）dzdx+（z-1）dxdy 
-

∬

∑2

（x²+y²）dzdx+（z-1）dxdy-

∬

∑3

（x²+y²）dzdx+（z-1）dxdy
=

∭

Ω

(2y+1)dxdydz-0-

∬

∑2

x2dzdx-0
=

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

1 0

dz

∫

z 0

(2rsinθ+1)rdr+

∫

1 0

x2dx

∫

1 x

dz
=(π)/(3)+(1)/(6)+(1)/(12)
=(π)/(3)+(1)/(4)．

（2）
曲面方程为：z＝√(1−x2−y2)，
曲面在xOy平面上的投影区域D是：x²+y²≤(1)/(2)，
且，ds＝√(1+(z′x)2+(z′y)2)dxdy＝(1)/(√(1−x2−y2))dxdy，ds＝√(1+zx2+zy2)dxdy＝(1)/(1−x2−y2)，
则有：

∬

x2+y2+z2＝1

f(xyz)ds=

∬

D

(x2+y2)/(√(1−x2−y2))dxdy
=

∫

2π 0

dφ

∫	(√(2))/(2) 0

(r2)/(√(1−r2))rdr
=2π((1)/(3)(1−r2)(3)/(2)−(1−r2)(1)/(2)) 

|	(√(2))/(2) 0

=π((4)/(3)−(5)/(6)√(2))．