如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF．（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Question

如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF．

（1）求证：△CAE∽△CBF．
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，
∴(AC)/(BC)=(CE)/(CF)=√(2)，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△CAE∽△CBF；
（2） ∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠CBF，(AE)/(BF)=(AC)/(BC)=√(2)，
又∵(AE)/(BF)=(AC)/(BC)=√(2)，AE=2
∴(2)/(BF)=√(2)，∴BF=√(2)，
又∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=90°，
∴EF²=BE²+BF²=1²+（√(2)）²=3，
∴EF=√(3)，
∵CE²=2EF²=6，
∴CE=√(6)．