求微分方程y″+a2y=sinx的通解，其中常数a＞0．

Question

求微分方程y″+a²y=sinx的通解，其中常数a＞0．

Answer 1

齐次微分方程 y″+a²y=0 的特征方程为
 λ²+a²=0，
求解可得，其特征根为 λ₁=ai，λ₂=-ai，
故齐次方程的通解为 y₁=C₁cosax+C₂sinax．
因为非齐次项为 f（x）=sinx，所以
（1）a≠1 时，
λ=i 不是特征方程的根，
故设原方程的特解为 y*=Acosx+Bsinx，
代入原方程可得 A=0，B=(1)/(a2−1)，
所以原方程的特解为 y*=(sinx)/(a2−1)．
故原方程的通解为 y=y₁+y*=C₁cosax+C₂sinax+(sinx)/(a2−1)，其中C₁，C₂为任意常数．
（2）当 a=1 时，因为 λ=i 是特征方程的单重根，
故设原方程的特解为 y*=x（Acosx+Bsinx），
代入原方程可得 A=−(1)/(2)，B=0，
所以原方程的特解为 y*=−(1)/(2)xcosx．
故原方程的通解为 y=y₁+y*=C₁cosax+C₂sinax −(1)/(2)xcosx，其中C₁，C₂为任意常数．
综合（1）（2）可得，
当 a≠1时，原方程的通解为 y=y₁+y*=C₁cosax+C₂sinax+(sinx)/(a2−1)；
当 a=1 时，原方程的通解为 y=y₁+y*=C₁cosax+C₂sinax −(1)/(2)xcosx，
其中C₁，C₂为任意常数．
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