(x-2y)dy=2ydx,齐次方程的通解?y=c(x+2y)^2

Question

(x-2y)dy=2ydx,齐次方程的通解?
y=c(x+2y)^2

Answer 1

dy/dx=2y/(x-2y)
右边分子分母同除以x,得：dy/dx=2(y/x) / [1-2(y/x)]
设y/x=u,则y=xu,y'=u+xu'
则微分方程化为：u+xu'=2u/(1-2u)
得：xu'=2u/(1-2u) - u
得：xdu/dx=(u+2u²)/(1-2u)
则：(1-2u)/(u+2u²) du= dx/x
两边积分：∫ (1-2u)/(u+2u²) du = lnx + lnC
左边=∫ (1-2u)/(u+2u²) du
=∫ (1-2u)/[u(1+2u)] du
=∫ 1/u du - 4∫ 1/(1+2u) du
=lnu - 2ln(1+2u)
因此得：lnu - 2ln(1+2u) = lnx + lnC
得：u/(1+2u)²=Cx
u换回y/x得：(y/x) / (1+2y/x)²=Cx
得：y/(x+2y)²=C,即：y=C(x+2y)²