若两个实数a，b，使得，a2+b与a+b2都是有理数，称数对（a，b）是和谐的．①试找出一对无理数，使得（a，b）是和谐的；②证明：若（a，b）是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a，b都是有

Question

若两个实数a，b，使得，a²+b与a+b²都是有理数，称数对（a，b）是和谐的．
①试找出一对无理数，使得（a，b）是和谐的；
②证明：若（a，b）是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a，b都是有理数；
③证明：若（a，b）是和谐的，且(a)/(b)是有理数，则a，b都是有理数；

Answer 1

①假设a=√(2)+(1)/(2)，b=(1)/(2)-√(2)，则a²+b=（√(2)+(1)/(2)）²+(1)/(2)-√(2)=(11)/(4)是有理数，
a+b²=√(2)+(1)/(2)+（(1)/(2)-√(2)）²=(11)/(4)是有理数，
故（a，b）=（√(2)+(1)/(2)，(1)/(2)-√(2)）是和谐的；
②由已知t=（a²+b）-（a+b²）=（a-b）（a+b-1）是有理数，a+b=s是有理数，
因此a-b=(t)/(a+b−1)，解得a=(1)/(2)（s+(t)/(s−1)）是有理数，
当然b=s-a也是有理数；
③若a+b²=0，则b=-(a)/(b)是有理数，因此a=（a+b²）-b²也是有理数．
若a+b²≠0，由已知x=(a2+b)/(a+b2)=(((a)/(b))2+(1)/(b))/((a)/(b)•(1)/(b)+1)是有理数，y=(a)/(b)也是有理数，
因此(1)/(b)=(y2−x)/(xy−1)，故b=(xy−1)/(y2−x)是有理数，
因此a=（a+b²）-b²也是有理数．