已知f（x）=34x2-3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b=．

Question

已知f（x）=(3)/(4)x²-3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b=______．

Answer 1

∵f（x）=(3)/(4)x²-3x+4=(3)/(4)(x−2)2+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：
①当b＜2时，函数在区间[a，b]上递减，又∵值域也是[a，b]，∴得方程组

f(a)＝b

f(b)＝a

即

(3)/(4)a2−3a+4＝b

(3)/(4)b2−3b+4＝a

，两式相减得(3)/(4)（a+b）（a-b）-3（a-b）=b-a，又∵a≠b，∴a+b=(8)/(3)，
由(3)/(4)a2−3a+4＝(8)/(3)−a，得3a²-8a+4=0，∴a=(4)/(3)∴b=2，但f（2）=1≠(4)/(3)，故舍去．
②当a＜2＜b时，得f（2）=1=a，又∵f（1）=(7)/(4)＜2，∴f（b）=b，得(3)/(4)b2−3b+4＝b，∴b=(4)/(3)（舍）
或b=4，∴a+b=5
③当a＞2时，函数在区间[a，b]上递增，又∵值域是[a，b]，∴得方程组

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